1. 數據類型：失效與右設限
在可靠度測試中，我們會遇到兩種數據類型：
失效數據 (Failure, F)
產品在測試期間確實發生失效的數據點。例如：產品在運作 300 小時後損壞。這是最直接、最有價值的數據。
右設限數據 (Suspended/Censored, S)
右設限是指產品在測試結束時仍然正常運作，我們只知道它「至少」存活了這麼久，但不知道實際壽命。
為什麼會有右設限數據？
- 測試時間限制：產品測試 500 小時後結束，但有些樣品還沒壞 → 記錄為「500 小時，設限 (S)」
- 樣品移除：測試中途因其他原因（非失效）移除樣品，例如送去做其他檢測
- 成本考量：長時間測試成本高，無法等到所有樣品都失效
重要：右設限數據雖然沒有失效，但仍然提供了「產品至少能活這麼久」的資訊，對於提升分析準確度非常有幫助！
實際範例
假設測試 5 個產品，測試時間上限 600 小時：
- 產品 A：300 小時失效 → 300, F
- 產品 B：450 小時失效 → 450, F
- 產品 C：600 小時仍正常 → 600, S (右設限)
- 產品 D：550 小時失效 → 550, F
- 產品 E：600 小時仍正常 → 600, S (右設限)
這樣的數據組合可以進行 Weibull 分析，右設限數據會被正確納入計算。
1.5 可靠度與不可靠度的關係
在工程實務中，產品的狀態是一體兩面的：不是「存活」就是「已失效」。因此我們定義了互補的兩個指標：
- \(R(t)\) 可靠度 (Reliability)：
通俗名稱：存活率 (Survival Rate)
定義：代表產品運作到時間 \(t\) 仍未損壞的機率。
- \(F(t)\) 不可靠度 (Unreliability)：
通俗名稱：累積失效機率 (Cumulative Probability of
Failure)
定義：代表產品從開始運作直到時間 \(t\) 已經損壞的總比例（即 CDF）。
2. 核心公式
Weibull 分佈的 可靠度函數 (Reliability Function) \(R(t)\)
公式如下：
$$ R(t) = e^{-(t/\eta)^\beta} $$
- \(t\)：壽命（或行駛里程、循環次數）。
- \(R(t)\)：在時間 \(t\) 時，產品尚未失效的機率（可靠度）。
- \(\beta\) (Beta)：形狀參數 (Shape Parameter)，決定失效模式。
- \(\eta\) (Eta)：尺度參數 (Scale Parameter)，又稱特徵壽命。
3. 理解關鍵參數
在代入公式前，必須先透過數據擬合求出 \(\beta\) 和 \(\eta\)。
\(\beta\) (形狀參數)：決定失效類型
- \(\beta < 1\)：早期失效期 (Infant Mortality)。產品剛出廠就壞，通常是生產瑕疵。
- \(\beta = 1\)：隨機失效期 (Random Failures)。失效律是常數，類似指數分佈。
- \(\beta > 1\)：磨耗失效期 (Wear-out)。產品老化、疲勞，失效律隨時間上升。
\(\eta\) (尺度參數)：特徵壽命
代表當 63.2% 的產品已經失效時的時間點（此時 \(R(t) = 36.8\%\)）。這是衡量產品壽命長短的主要指標。
\(R^2\) (擬合度)：數據可信度指標
擬合度 (R-squared, R²) 是用來評估 Weibull 模型與實際數據的吻合程度，數值範圍為 0 到 1。
- \(R^2 \geq 0.95\)：優秀擬合，數據非常符合 Weibull 分佈，分析結果高度可信。
- \(0.90 \leq R^2 < 0.95\)：良好擬合，結果可接受，但可能存在少量異常數據。
- \(0.80 \leq R^2 < 0.90\)：尚可擬合，建議檢查數據品質或考慮其他分佈模型。
- \(R^2 < 0.80\)：擬合不佳，數據可能不符合 Weibull 分佈，或存在嚴重異常值。
注意：如果 \(R^2\)
過低，建議重新檢視數據來源、測試條件是否一致，或考慮使用對數常態分佈等其他模型。
4. 計算步驟實例
假設你分析一組數據後得到參數：\(\beta = 2.5\) (磨耗型) 與 \(\eta = 1000\) 小時。
情境 A：計算特定時間的可靠度
問題：產品運作 500 小時 後，還存活的機率是多少？
代入公式：
$$ R(500) = e^{-(500/1000)^{2.5}} $$
$$ R(500) = e^{-(0.5)^{2.5}} = e^{-0.1768} \approx 0.838 $$
答案： 可靠度為 83.8%。
情境 B：計算 B10 壽命 (B10 Life)
問題：多少時間後，會有 10% 的產品失效（即 90% 可靠度）？
公式變形： \( t = \eta \times (-\ln(R))^{1/\beta} \)
$$ t = 1000 \times (-\ln(0.9))^{1/2.5} $$
$$ t = 1000 \times (0.10536)^{0.4} $$
$$ t \approx 1000 \times 0.406 = 406 \text{ 小時} $$
答案： B10 壽命為 406 小時。
4. B-Life 概念與工程意義
在可靠度工程（特別是 Weibull 分析）中，「B」 代表 Basic Life（基本壽命），後面的數字代表 累積失效百分比。簡單來說，Bx 壽命就是：「當 x%
的產品失效時，所經過的時間」。以下是 B1、B10、B63.2 的詳細定義與它們在工程上的意義：
1. B10 壽命 (B10 Life) —— 行業通用標準
定義：當 10% 的產品失效（也就是還有 90% 存活）的時間點。
數學意義：可靠度 \(R(t) = 90\%\) 或 \(0.9\)。
應用場景：這是汽車業、軸承業、馬達業最常用的指標。通常用來設定 保固期 (Warranty)。
實際例子：如果車廠算出某零件的 B10 壽命是 3年，代表 3年內預計會有 10% 的車回來維修，這有助於計算保固成本。
2. B1 壽命 (B1 Life) —— 高安全標準
定義：當 1% 的產品失效（也就是還有 99% 存活）的時間點。
數學意義：可靠度 \(R(t) = 99\%\) 或 \(0.99\)。
應用場景：用於高安全性、高可靠度的產品，如 航太、醫療設備、汽車安全氣囊。對於這些產品，10%
的失效是不可接受的，必須確保極少量的產品會在該時間點前壞掉。
3. B63.2 (特徵壽命 / \(\eta\)) —— 數學基準
定義：當 63.2% 的產品失效（只剩 36.8% 存活）的時間點。
為什麼是 63.2%？這來自 Weibull 的公式結構。當時間 \(t\) 正好等於尺度參數 \(\eta\) 時：
$$ R(\eta) = e^{-(\eta/\eta)^\beta} = e^{-1} \approx 0.3678 $$
$$ F(t) = 1 - 0.3678 = 0.6322 \text{ (即 63.2%)} $$
意義：B63.2 就是 \(\eta\) (Eta, 尺度參數)。它代表這批產品的「特徵壽命」(Characteristic Life)。雖然
63% 的失效率聽起來很高（大半都壞了），但它在數學上是一個非常穩定的基準点，用來衡量整體壽命的長短。如果 \(\eta\) 越大，代表產品整體撐得越久。
總結比較表
| 指標 |
失效比例 |
存活率 (可靠度) |
意義與用途 |
|
B1
|
1% |
99% |
極低風險：用於飛機、醫療、安全件。 |
|
B10
|
10% |
90% |
工業標準：用於制定保固期、馬達壽命、一般電子產品。 |
|
B50
|
50% |
50% |
中位數壽命：一半壞了一半好的時間點 (平均壽命)。 |
|
B63.2
|
63.2% |
36.8% |
特徵壽命 (\(\eta\))：Weibull
的尺度參數，數學上的基準點。 |
如何透過我們剛做的網頁計算？
在我們的網頁工具算出 \(\beta\) 和 \(\eta\) 後，您可以手動用以下公式反推這些 B-Life：
$$ t = \eta \times (-\ln(R))^{1/\beta} $$
- 算 B1：將 R 設為 0.99
- 算 B10：將 R 設為 0.90
- 算 B63.2：答案就是網頁上顯示的 Eta (\(\eta\)) 值。
5. 樣本數量建議：多少顆才夠？
進行可靠度分析（特別是 Weibull 分析）時，樣本數量的選擇永遠是「統計精確度」與「測試成本/時間」之間的權衡。雖然數學上只需要 2
個失效點就能畫出一條線（求出 \(\beta\) 和 \(\eta\)），但在工程實務上，這是遠遠不夠的。
建議的樣本數量 (Rule of Thumb)
| 樣本數量 |
評價 |
適用情境 |
| 3 - 5
顆 |
極低 (高風險)
|
僅適用於非常昂貴的產品（如衛星、大型模具）或初步摸底測試。誤差範圍極大，僅能看大致趨勢。 |
| 6 -
10 顆 |
勉強接受
|
適用於開發階段的快速驗證。可以算出參數，但對於 B10
壽命（早期失效）的預測仍不夠準確。 |
| 10 -
20 顆 |
工程推薦 (甜蜜點)
|
大多數工業標準的選擇。在成本與精確度之間取得最佳平衡，足以判斷失效模式 (\(\beta\)) 並估算 B10 壽命。 |
| 20 -
30 顆+ |
統計顯著
|
適用於高可靠度要求（如車規、醫療、航太）或低成本元件。能提供較窄的信賴區間。 |
為什麼？(背後的統計原因)
A. 信賴區間 (Confidence Bounds) 的寬度
Weibull 分析算出的只是「估計值」。樣本越少，不確定性（信賴區間）就越寬。
例子：
- 5 顆樣品：算出 B10 壽命是 500 小時，但 90% 信賴區間可能是 [100 小時, 2500
小時]。這範圍大到幾乎無法做決策。
- 20 顆樣品：算出 B10 壽命是 500 小時，信賴區間可能縮小至 [400 小時, 650
小時]。這數據就很有參考價值。
B. 為了抓到「早期失效」(B1/B10)
工程師通常不關心平均壽命 (\(\eta\), B63.2)，而是關心「最早壞的那幾顆」 (B10
或 B1)。
- Weibull 分佈的尾端（早期失效區）對數據非常敏感。
- 如果樣本太少，你很難確定最早失效的那顆是「隨機的特例」還是「整批產品的常態」。
- 數據量大才能穩定描繪出曲線的尾端。
C. 確認失效模式 (\(\beta\) 值)
\(\beta\) 值決定了產品是「早夭」、「隨機失效」還是「磨耗」。
樣本少時，隨便一顆異常值（Outlier）都會讓直線斜率劇烈波動，導致你誤判失效模式（例如把磨耗誤判為隨機失效），進而選錯改善方向。
如果預算/時間有限，樣本很少怎麼辦？(Mouldex 實務建議)
在模具或高單價產品分析中，往往不可能測 20 顆。這時有幾種策略：
策略一：使用「Weibayes 分析」(1參數 Weibull)
如果你只有很少的樣本（例如 2-3 顆），甚至沒有失效（全都是 Suspended），但你有過去類似產品的經驗。
方法：固定 \(\beta\) 值（根據歷史經驗，例如金屬疲勞通常 \(\beta \approx 3\)），只計算 \(\eta\)。
優點：需要的樣本數極少，且結果比標準 Weibull 更可信（因為利用了歷史知識）。
策略二：增加「設限數據」(Suspended Data)
方法：你可以只測到 2-3 顆失效，但同時放入 10 顆樣品一起跑。當前 3 顆失效後，停止測試。
原因：那 7 顆未失效的數據（右設限）雖然沒壞，但它們提供了「這段時間內沒壞」的資訊，這能顯著提升分析的準確度，比只測 3
顆全部測到壞要好得多。
總結建議
對於 Mouldex 的應用場景：
- 理想情況：盡量爭取 10 顆以上的樣本。
- 最低底線：至少要有 5-6 顆。
- 測試策略：如果只能測到少數幾顆壞掉，請務必保留那些「還沒壞」的數據作為右設限 (Suspended)
輸入到我們剛做好的網頁工具中，這樣能大幅提升準確度。
6. 如何取得參數 (\(\beta, \eta\))
在實際工程中，我們不會手算參數，通常使用圖解法或軟體（如上方計算機）：
圖解法 (Excel 原理)
利用 Weibull 線性化公式製作散佈圖：
$$ \ln(-\ln(1 - F(t))) = \beta \ln(t) - \beta \ln(\eta) $$
在圖表中，趨勢線的斜率即為 \(\beta\)。
Python 程式範例
如果你熟悉程式，使用 Python 的 lifelines 套件是最快的方法：
from lifelines import WeibullFitter
# 1. 輸入失效時間數據
T = [100, 150, 200, 280, 400]
# 2. 擬合數據
wf = WeibullFitter()
wf.fit(T)
# 3. 輸出參數
print(f"Beta (rho_): {wf.rho_}")
print(f"Eta (lambda_): {wf.lambda_}")
7. 為什麼需要較多樣本？
A. 信賴區間的寬度
樣本越少，不確定性越高。5 顆樣品的 B10 信賴區間可能非常寬；20 顆則明顯收斂。
B. 早期失效尾端的敏感度
B1/B10 屬於分佈尾端，對少量異常值極為敏感，需較多樣本穩定估計。
C. 確認失效模式 (\(\beta\) 值)
樣本太少時，斜率容易受單點影響而誤判失效型態，導致錯誤改善方向。
8. 實務策略
策略一：Weibayes (1 參數 Weibull)
樣本極少或多為設限時，依歷史經驗固定 \(\beta\)，僅估 \(\eta\)。
策略二：增加設限數據
少量失效搭配更多設限樣本，可顯著提升擬合穩定度。
10. 差異分析的理論補充（雙組比較）
\(\beta\) 差異的意義
- \(\beta_B > \beta_A\)：B 組失效率隨時間上升更快，屬磨耗加劇，尾端失效更集中
- \(\beta_B \approx \beta_A\)：兩組失效型態相近，適合用 \(\eta\) 或 B‑Life 直接比較壽命
- \(\beta_B < \beta_A\)：B 組較傾向早期失效，需檢討製程／品質一致性
\(\eta\) 改善率的判讀
$$ \text{\% 改善} = \left(\frac{\eta_B}{\eta_A} - 1\right) \times 100\% $$
- 適用情境：\(|\beta_B - \beta_A| \le 0.2\)（失效型態近似）
- 解讀：\(\eta_B/\eta_A = 1.30\) 表示壽命延長約 30%
當 \(\beta\) 不同時的比較方式
- 固定可靠度比較：選定 \(R\)（如 95%、90%），比較兩組的 \(t(R)\)
$$ t(R) = \eta \times \big(-\ln(R)\big)^{1/\beta} $$
- B‑Life 比較：以 \(B10\)、\(B50\) 或 \(B1\) 為指標，比較 \(t_{B,\,x} / t_{A,\,x}\)
- 優點：避免僅以 \(\eta\) 判斷而忽略 \(\beta\) 對尾端的影響
判讀範例（文字化）
例一（型態相近）：\(\beta_A = 1.2,\ \eta_A = 500;\ \beta_B = 1.2,\ \eta_B = 650\)。則 \(\eta\) 改善 ≈
30%，B10 比較亦約 30% 提升。
例二（型態不同）：\(\beta_A = 1.0,\ \eta_A = 520;\ \beta_B = 1.6,\ \eta_B = 650\)。以 \(R=90\%\)
比較：計算 \(t_A(0.9)\) 與 \(t_B(0.9)\)；若 \(t_B/t_A > 1\)，表示在該可靠度下 B 組更耐久。
判讀優先順序
| 步驟 |
重點 |
說明 |
| 1 |
檢查 \(R^2\) |
擬合度不足時避免深入比較 |
| 2 |
比較 \(\beta\) |
型態相近者可直接用 \(\eta\)/B‑Life；型態不同用
\(t(R)\) |
| 3 |
選擇比較指標 |
相近：\(\eta\) 改善率；不同：固定 \(R\) 或 B‑Life
|
| 4 |
形成結論 |
用明確百分比或時間比值呈現差異 |